Corollaire du critère de Leibniz :
Soit une série alternée \(\displaystyle{\sum^{+\infty}_{k=0}(-1)^ku_k}\) telle que \(u_k\) soit positive, décroissante et convergente vers \(0\)
Alors la somme \(S\) vérifie l'encadrement : $$S_1\leqslant S_3\leqslant\cdots\leqslant S_{2n+1}\leqslant\cdots\leqslant S\leqslant\cdots\leqslant S_{2n}\leqslant\cdots\leqslant S_2\leqslant S_0$$
Corollaire du critère de Leibniz :
Si \(\sum(-1)^nu_n\) est une série alternée telle que \(u_n\) soit positive, décroissante et tendant vers \(0\), alors on a : $$\lvert R_n\rvert\leqslant u_{n+1}$$ avec \(R_n\) le reste d'ordre \(n\)
Corollaire du théorème des séries alternées :
Si la suite \((a_n)_n\) tend vers \(0\) en décroissant (au moins à partir d'un certain rang), alors \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^na_n\) converge, et son reste vérifie : $$\left|\sum^{+\infty}_{n=N+1}(-1)^na_n\right|\leqslant a_{N+1}$$
Convergence uniforme
Théorème des séries alternées :
La série \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^na_nx^n\,dx\) converge uniformément sur \(I\) si : $$\sup_{x\in I}\lvert a_N x^N\rvert\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$